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    最小公倍數怎么算(最小公倍數)

    導讀

    之前我們介紹了最大公因數,它與最小公倍數之間的聯系是什么?本期我們主要來討論這個問題。

    先來回顧最大公因數與其相關定理,再給出主要結論。

    最大公因數

    定義 設a,b是任意兩個非零整數,如果d|a,d|b,則稱d是a,b的一個公因數。a和b的公因數中最大的一個叫做a,b的最大公因數,記為(a, b).

    例子 (12, 15)=3。

    注:如果(a,b)=1,那么我們稱a和b互素。此時稱分數a/b為既約分數。易知a,b的公因數都是(a,b)的公因數。

    定理1 設a,b是任意兩個不全為零的整數,則存在整數s,t使得

    as+bt=(a, b).

    例子 (4, 6)=2, 6×1+4×(-1)=2.

    定理2 設a,b是任意兩個不全為零的整數。若m是任一正整數,則

    (am,bm)=(a, b)m.

    例子 (4, 6)=2, (4×3, 6×3)=2×3

    最小公倍數

    定義 設a,b是任意兩個非零整數,如果a|m,b|m,則稱m是a,b的一個公倍數。a和b的公倍數中最小的正數叫做a,b的最小公倍數,記為[a, b].

    例子 [3, 4]=12。

    引理1 若c|ab, 且(a, c)=1,則c|b.

    例子 2|3×6, (2, 3)=1, 則2|6.

    定理 設a,b是任意兩個正整數,則a,b的所有公倍數就是[a, b]的所有公倍數,且

    [a, b]=ab/(a, b).

    分析 只需證明2件事

    1. ab/(a, b)是a, b的公倍數。

    2. 所有a, b的公倍數都是ab/(a, b)的倍數。

    證明 設m是a, b的公倍數,m=aq=bp. 令a=u(a, b), b=v(a, b).

    則有 uq=vp. 由定理2知(u, v)=1. 故由引理1可知 u|p. 令p=uk,則

    m=bp=buk=[ab/(a, b)]k.

    反之 因為b/(a, b)是整數,所以

    a|[ab/(a, b)], 同理b|[ab/(a, b)]. 所以

    ab/(a, b)是a, b的公倍數?!?/p>

    例子 24與32,(24, 32)=8,由定理可知

    [24, 32]=24×32÷8=96.

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